Question

【題目】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰好有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的所有取值之和為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

討論0＜x≤時(shí)與＜x＜π時(shí)函數(shù)解析式，令k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，換元，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

解：（1）當(dāng)0＜x≤時(shí)，設(shè)k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，

令t＝sinx+cosx＝sin（x+），則t∈[1，]，

k＝t﹣2（t2﹣1）＝﹣2t2+ t+2，t∈[1，]為單調(diào)函數(shù)，

則可知當(dāng)t＝1時(shí)，即k＝1時(shí)，一解；

當(dāng)t＝時(shí)，即k＝時(shí)，一解；

當(dāng)1＜t＜時(shí)，即﹣2＜k＜1時(shí)兩解；

（2）當(dāng)＜x＜π時(shí)，設(shè)k＝sinx﹣cosx﹣4sinxcosx，

令t＝sinx﹣cosx＝sin（x﹣），則t∈（1，]，

k＝t+2（t2﹣1），t∈（1，]也為單調(diào)函數(shù)，

則可知當(dāng)1＜t＜時(shí)，即1＜k＜2+時(shí)兩解，

當(dāng)t＝時(shí)，即k＝時(shí)一解，

綜上：k＝1或k＝﹣2或k＝，

故所有k的和為.

故答案為：.