Question

15．已知首項為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，且a₁，$\frac{3}{2}$a₂，2a₃成等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+n．n∈N^*（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=$\frac{_{n+1}}{2}$•log₂a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＜1），根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到2q²-3q+1=0解得即可，故數(shù)列{a_n}的通項公式可求，由求和公式得到b_n=S_n-S_n-1=2n，再驗證n=1是否成立，
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)得到c_n=-n（n+1），即可得到$\frac{1}{{c}_{n}}$=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），根據(jù)裂項求和即可求出數(shù)列{$\frac{1}{{c}_{n}}$}的前n項和T_n．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＜1），
∵a₁，$\frac{3}{2}$a₂，2a₃成等差數(shù)列，
∴3a₂=a₁+2a₃，
∴3×$\frac{1}{2}$q=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{2}$q²，
即2q²-3q+1=0
解得q=$\frac{1}{2}$，或q=1（舍去），
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∵S_n=n²+n，
∴S_n-1=（n-1）²+n-1，
∴b_n=S_n-S_n-1=2n，
∵S₁=1²+1=2=b₁，
∴b_n=2n，
（2）c_n=$\frac{_{n+1}}{2}$•log₂a_n=$\frac{1}{2}$×2（n+1）•log₂2^-n=-n（n+1），
∴$\frac{1}{{c}_{n}}$=-（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=-（1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=-（1-$\frac{1}{n+1}$）=-$\frac{n}{n+1}$

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式和列項求和，培養(yǎng)了學(xué)生的分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．