Question

10．已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0，及點Q（-2，3），
（1）若M為圓C上任一點，求|MQ|的最大值和最小值；
（2）若實數(shù)m，n滿足m²+n²-4m-14n+45=0，求$k=\frac{n-3}{m+2}$的最大值和最小值；
（3）過x軸上一點P作圓C的切線，切點為R，求PR的最小值，并指出此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）將圓C：x²+y²-4x-14y+45=0可化為（x-2）²+（y-7）²=8，從而確定圓心與半徑，從而得到點Q在圓外，從而求|MQ|的最大值與最小值．
（2）$k=\frac{n-3}{m+2}$的幾何意義是圓上一點M（m，n）與A（-2，3）連線的斜率，則當(dāng)直線n-km-2k-3=0與圓C相切時，圓心到直線的距離等于半徑，求出k的最值，即可求出k取的最值．
（3）利用圓的半徑是定值以及圓心是定點，通過切線長與半徑以及PC的距離滿足勾股定理，判斷P的位置，求出最小值以及P的坐標．

解答 解：（1）將圓C：x²+y²-4x-14y+45=0可化為
（x-2）²+（y-7）²=8，
則圓心C（2，7），半徑r=2$\sqrt{2}$，
又∵Q（-2，3），
∴|QC|=4$\sqrt{2}$，
∴點Q在圓外，
則由|QC|-2$\sqrt{2}$≤|MQ|≤|QC|+2$\sqrt{2}$得，
|MQ|_max=6$\sqrt{2}$，|MQ|_min=2$\sqrt{2}$．
（2）$k=\frac{n-3}{m+2}$的幾何意義是圓上一點M（m，n）與A（-2，3）連線的斜率，
則當(dāng)直線n-km-2k-3=0與圓C相切時ν取的最值，
則$\frac{|7-2k-2k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
解得k=2-$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$，
則$k=\frac{n-3}{m+2}$的最大值和最小值分別為：2$+\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$．
（3）將圓C：x²+y²-4x-14y+45=0的圓心C（2，7），半徑r=2$\sqrt{2}$，
過x軸上一點P作圓C的切線，切點為R，PR的最小值，就是過圓的圓心作x軸的垂線，垂足為P，
∴PR=$\sqrt{{7}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{41}$．
此時點P的坐標（2，0）．

點評 本題考查了直線與圓，點與圓的位置關(guān)系，點在圓外時d-r≤|MQ|≤d+r，從而求最值，直線與圓相切時有最值，屬于中檔題．