Question

14．《九章算術(shù)》中，有鱉臑（biēnào）和芻甍（chúméng）兩種幾何體，鱉臑是一種三棱錐，四面都是直角三角形，芻甍是一種五面體，其底面為矩形，頂部為一條平行于底面矩形的一邊且小于此邊的線段．在如圖所示的芻甍ABCDFE中，已知平面ADFE⊥平面ABCD，EF∥AD，且四邊形ADFE為等腰梯形，$AE=\sqrt{5}$，EF=3，AD=5．
（Ⅰ）試判斷四面體A-BDE是否為鱉臑，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若AB=2，求平面BDE與平面CDF所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過(guò)E作EH⊥AD，垂足為H，由已知可得得DE⊥AE．結(jié)合四邊形ABCD為矩形，得AB⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面ADFE，然后依次證明△BDE，△ADE，△BAE和△BAD都為直角三角形，可得四面體A-BDE為鱉臑；
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由已知可得B（2，0，0），D（0，5，0），E（0，1，2），F(xiàn)（0，4，2），C（2，5，0）．分別求出平面BDE與平面CDF的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面BDE與平面CDF所成的銳二面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）該四面體A-BDE為鱉臑．
證明過(guò)程如下：過(guò)E作EH⊥AD，垂足為H，
∵四邊形ADFE為等腰梯形，$AE=\sqrt{5}$，EF=3，AD=5，
∴$EH=\sqrt{A{E^2}-A{H^2}}=2$，$DE=\sqrt{E{H^2}+D{H^2}}=2\sqrt{5}$，
∴AD²=AE²+DE²，得DE⊥AE．
∵四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥AD，
又平面ADFE⊥平面ABCD，平面ADFE∩平面ABCD=AD，
∵AB?平面ABCD，∴AB⊥平面ADFE，
∵AE?平面ADFE，∴AB⊥AE．
∵DE?平面ADFE，∴AB⊥DE，
∵AB∩AE=A，AB、AE?平面ABE，∴DE⊥平面ABE，
又BE?平面ABE，∴DE⊥BE，
∴△BDE，△ADE，△BAE和△BAD都為直角三角形，
∴四面體A-BDE為鱉臑；
（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
由已知可得B（2，0，0），D（0，5，0），E（0，1，2），F(xiàn)（0，4，2），C（2，5，0）．
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m⊥\overrightarrow{DE}}\\{\overrightarrow m⊥\overrightarrow{DB}}\end{array}}\right.$，
又$\overrightarrow{DE}=（0，-4，2）$，$\overrightarrow{DB}=（2，-5，0）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-4{y_1}+2{z_1}=0}\\{2{x_1}-5{y_1}=0}\end{array}}\right.$，令x₁=5，解得y₁=2，z₁=4，∴$\overrightarrow m=（5，2，4）$，
設(shè)平面CDF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DC}}\\{\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DF}}\end{array}}\right.$，
又$\overrightarrow{DC}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{DF}=（0，-1，2）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2{x_2}=0}\\{-{y_2}+2{z_2}=0}\end{array}}\right.$，令z₂=1，得$\overrightarrow n=（0，2，1）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{4+4}{{\sqrt{5}×\sqrt{25+4+16}}}=\frac{8}{15}$．
∴平面BDE與平面CDF所成的銳二面角的余弦值為$\frac{8}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面、面面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．