Question

1．f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b的兩個(gè)極值點(diǎn)是x₁，x₂，f（x₂）=x₂＞x₁，則2af（x）²+bf（x）-1=0的根的個(gè)數(shù)是5．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，可得2ax²+bx-1=0有兩個(gè)不相等的正根，必有△=b²+8a＞0．而方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的△₁=△＞0，可知此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂．再分別討論利用平移變換即可解出方程f（x）=x₁或f（x）=x₂解的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′（x）=-$\frac{1}{x}$+2ax+b=$\frac{2a{x}^{2}+bx-1}{x}$，
即為2ax²+bx-1=0有兩個(gè)不相等的正根，
∴△=b²+8a＞0．∵x₁＜x₂，∴解得∴x₁=$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$，x₂=$\frac{-b-\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$（a＜0）．
而方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的△₁=△＞0，
∴此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂
即有0＜x₁＜x₂，f（x₂）＞0．
①把y=f（x）向下平移x₂個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）-x₂的圖象，
∵f（x₂）=x₂，可知方程f（x）=x₂有三解．
②把y=f（x）向下平移x₁個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）-x₁的圖象，
∵f（x₂）=x₂，∴f（x₂）-x₁＞0，可知方程f（x）=x₁有兩解．
綜上①②可知：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂共有5個(gè)實(shí)數(shù)解．
即關(guān)于x的方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的共有5不同實(shí)根．
故答案為：5．

點(diǎn)評 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程解的個(gè)數(shù)、平移變換等基礎(chǔ)知識，考查了圖象平移的思想方法、推理能力、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．