Question

8．g（x）=$\sqrt{2}$^2x-1，g（x）≤t²-2mt+1對(duì)所有的x∈[-1，1]及m∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)g（x）=$\sqrt{2}$^2x-1=2^x-1；從而求得g_max（x）=g（1）=2-1=1；從而化恒成立為2mt≤t²對(duì)所有的m∈[-1，1]恒成立；再討論t以化為函數(shù)的最值問題即可．

解答 解：g（x）=$\sqrt{2}$^2x-1=2^x-1；
故g_max（x）=g（1）=2-1=1；
故g（x）≤t²-2mt+1對(duì)所有的x∈[-1，1]及m∈[-1，1]恒成立可化為
1≤t²-2mt+1對(duì)所有的m∈[-1，1]恒成立；
即2mt≤t²對(duì)所有的m∈[-1，1]恒成立；
當(dāng)t=0時(shí)，2mt≤t²對(duì)所有的m∈[-1，1]恒成立；
當(dāng)t＜0時(shí)，m≥$\frac{t}{2}$對(duì)所有的m∈[-1，1]恒成立；
故$\frac{t}{2}$≤-1，即t≤-2；
當(dāng)t＞0時(shí)，m≤$\frac{t}{2}$對(duì)所有的m∈[-1，1]恒成立；
故$\frac{t}{2}$≥1，即t≥2；
綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為
（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問題，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．