Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，拋物線y²=4$\sqrt{2}$x的焦點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓O：x²+y²=$\frac{2}{3}$的切線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，證明：以AB為直徑的圓必經(jīng)過原點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）通過$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、拋物線y²=4$\sqrt{2}$x的焦點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）分直線l的斜率不存在、直線l的斜率為0、直線l的斜率存在且不為0三種情況討論，利用韋達(dá)定理計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$c，
∵拋物線y²=4$\sqrt{2}$x的焦點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，
∴a=$\sqrt{2}$，∴c=b=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
∵直線l與圓O相切，∴直線方程為：x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$或x=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
Ⅰ．聯(lián)立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$與x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得：A（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴以AB為直徑的圓的方程為：（x-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²+y²=$\frac{2}{3}$；
Ⅱ．聯(lián)立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$與x=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得：A（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴以AB為直徑的圓的方程為：（x+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²+y²=$\frac{2}{3}$；
綜合Ⅰ、Ⅱ可知兩圓過定點(diǎn)（0，0）；
②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，
∵直線l與圓O相切，∴切線方程為：y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$或y=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
Ⅰ．聯(lián)立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$與y=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得：A（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴以AB為直徑的圓的方程為：x²+（y+$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²=$\frac{2}{3}$；
Ⅱ．聯(lián)立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$與y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得：A（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），B（-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∴以AB為直徑的圓的方程為：x²+（y-$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²=$\frac{2}{3}$；
綜合Ⅰ、Ⅱ，顯然過定點(diǎn)（0，0）；
③當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，聯(lián)立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$與y=kx+m，
消去y得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理知：x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3{m}^{2}-2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即m²=$\frac{2}{3}$（1+k²），從而$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
顯然以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)；
綜合①②③可知：以AB為直徑的圓必經(jīng)過原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求橢圓方程，考查分類討論的思想，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．