Question

3．由甲、乙、丙3人組成的工作小組共獲得了4萬元獎金，現(xiàn)在他們決定用如下方法分配獎金：甲乙二人格子隨機(jī)從獎金中取出1萬元或2萬元作為自己的獎金，他們?nèi)〉?萬元的概率均為P₁，取得2萬元的概率均為P₂，剩下的獎金全部歸丙．
（1）若P₁=P₂=$\frac{1}{2}$，求丙獲得1萬元獎金的概率；
（2）若甲、乙、丙獲得獎金的期望值相等，求P₁，P₂的值．

Answer 1

分析 （1）事件丙獲得1萬元為事件A，若A發(fā)生，則甲乙二人獲得的金額分別為1萬元，2萬元，或2萬元，1萬元，由此能求出丙獲得1萬元獎金的概率．
（2）甲、乙1萬元和2萬元獎金的概率為p₁，p₂，甲、乙獲得的獎金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望值為p₁+2p₂，丙獲得獎金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望為$2{{p}_{1}}^{2}+2{p}_{1}{p}_{2}$，由此列出方程組，能求出P₁，P₂的值．

解答 解：（1）甲、乙二人得1萬元和2萬元的概率都是$\frac{1}{2}$，
事件丙獲得1萬元為事件A，
若A發(fā)生，則甲乙二人獲得的金額分別為1萬元，2萬元，或2萬元，1萬元，
∴丙獲得1萬元獎金的概率：
P（A）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．
（2）∵甲、乙1萬元和2萬元獎金的概率為p₁，p₂，
∴甲、乙獲得的獎金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望值為p₁+2p₂，
丙獲得獎金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望為$2{{p}_{1}}^{2}+2{p}_{1}{p}_{2}$，
依題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{p}_{1}+{p}_{2}=1}\\{{p}_{1}+2{p}_{2}=2{{p}_{1}}^{2}+2{p}_{1}{p}_{2}}\end{array}\right.$，
解得${p}_{1}=\frac{2}{3}$，p₂=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．