Question

8．已知函數(shù)f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，則下列命題正確的是①③④．（填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)）
①函數(shù)f（x）的最大值為2；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）對(duì)稱；
③函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；
④若實(shí)數(shù)m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=$\frac{7π}{3}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵A=2，故函數(shù)f（x）的最大值為2，即①正確；
當(dāng)x=-$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）≠0，故函數(shù)f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{π}{6}$，0）對(duì)稱，即②錯(cuò)誤；
函數(shù)f（x）關(guān)于x軸對(duì)稱后，得解析式為：y=-2sin（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$），
即函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=2sin（x-$\frac{2π}{3}$）的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，即③正確；
若實(shí)數(shù)m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，
則x₁=0，x₁，x₂關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，即x₂=$\frac{π}{3}$，x₃=2π，
故x₁+x₂+x₃=$\frac{7π}{3}$．即④正確；
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．