Question

已知函數g（x）=sin（2x+

π

6

）-cos（

4π

3

-2x），x∈R
（1）求函數g（x）的最小正周期及單減區(qū)間；
（2）若將函數g（x）先左平移

7π

6

個單位，再將其縱坐標伸長到原來的2倍得到函數f（x），當x∈[-

3π

8

，λ]時，f（x）的值域恰好為[-2

2

，4]，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值

分析：利用已知條件，推出兩個角的關系，化簡函數的解析式．
（1）直接利用周期公式求出周期，通過正弦函數的單調減區(qū)間，求解函數的單調減區(qū)間即可．
（2）通過函數的圖象變換求出f（x），通過角的范圍求出外心的范圍，利用函數的值域求解λ的取值范圍．

解答： 解：（1）由2x+

π

6

+

4π

3

-2x=

3π

2

，
g（x）=sin（2x+

π

6

）-cos[

3π

2

-（

4π

3

-2x）]=2sin（2x+

π

6

）…（2分）
∴T=

2π

2

=π…（4分）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3

2

π，k∈Z．
即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2

3

π，k∈Z．
∴函數g（x）單減區(qū)間[kπ+

π

6

，kπ+

2

3

π]，k∈Z…（6分）
（2）由題意將函數g（x）先左平移

7π

6

個單位，再將其縱坐標伸長到原來的2倍得到函數f（x），
得f（x）=4cos2x…（8分）
即當-

3π

4

≤2x≤2λ時，-

2

2

≤cos2x≤1
當2x=-

3π

4

和2x=

3π

4

時，cos2x=-

2

2

；2x=0時，cos2x=1，
0≤2λ≤

3π

4

故0≤λ≤

3π

8

…（10分）

點評：本題考查三角函數的化簡求值，函數的周期以及函數的單調性的應用，三角函數的圖象變換，考查計算能力．