Question

設函數(shù)f（x）=4cos2x（cos2x-1）+3-4cos2x．
（1）求使f（x）＞0的x取值范圍；
（2）求x為何值時f（x）取得最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,三角不等式

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）對于函數(shù)f（x）=4（cos2x-1）²-1，由f（x）＞0，求得cos2x-1＞

1

2

，即cos2x＜

1

2

，可得2kπ+

π

3

＜2x＜2kπ+

5π

3

，k∈z，由此求得x的范圍．
（2）對于f（x）=4（cos2x-1）²-1，利用二次函數(shù)的性質求得f（x）取得最大值和最小值以及此時x的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=4cos2x（cos2x-1）+3-4cos2x=4cos²2x-8cos2x+3=4（cos2x-1）²-1，
由f（x）＞0，求得cos2x-1＞

1

2

，或cos2x-1＜-

1

2

，即cos2x＞

3

2

（舍去），或 cos2x＜

1

2

．
∴2kπ+

π

3

＜2x＜2kπ+

5π

3

，k∈z，故有 kπ+

π

6

＜x＜kπ+

5π

6

，k∈z．
（2）對于f（x）=4（cos2x-1）²-1，當cos2x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值為-1，當cos2x=-1時，函數(shù)f（x）取得最大值為15．
由cos2x=1可得2x=2kπ，k∈z，求得x=kπ；由cos2x=-1，求得2x=2kπ+π，k∈z，即求得x=kπ+

π

2

．
綜上可得，當x=kπ，k∈z時，cos2x=1，函數(shù)f（x）取得最小值為-1；
當x=kπ+

π

2

，k∈z時，cos2x=-1，函數(shù)f（x）取得最大值為15．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質，三角不等式的解法，余弦函數(shù)的值域，屬于基礎題．