Question

20．（1）角α的終邊上一點P的坐標為（4t，-3t）（t不為0）求2sinα+cosα．
（2）設$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個不共線的向量，若$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，若三點A，B，C共線，求k的值．

Answer 1

分析 （1）可先求OP，分①t＞0時，r=5t，由三角函數(shù)的定義可得，sinα，cosα；②t＜0，r=-5α，由三角函數(shù)的定義可得，sinα，cosα可分別求解；
（2）利用向量的運算法則求出$\overrightarrow{BD}$；將三點共線轉(zhuǎn)化為兩個向量共線；利用向量共線的充要條件列出方程；利用平面向量的基本定理列出方程，求出k的值．

解答 解：（1）由題意可得點P到原點的距離r=5|t|，
當t＞0時，r=5t，由三角函數(shù)的定義可得，sinα=$\frac{y}{r}$=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{4}{5}$，
此時，2sinα+cosα=1；
當t＜0，r=-5t，由三角函數(shù)的定義可得，sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{x}{r}$=-$\frac{4}{5}$，
此時2sinα+cosα=-1．
（2）∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）-（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
若A，B，D三點共線，則$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$共線，設$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{BD}$，
則2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+k$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
由于$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個不共線的向量，可得：$\left\{\begin{array}{l}{2=λ}\\{k=-4λ}\end{array}\right.$．
故λ=2，k=-8．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的定義，考查向量的運算法則、考查向量共線的充要條件、考查平面向量的基本定理，解答（1）時要注意r=5|t|，而不能直接寫為r=5t．