Question

8．設(shè)f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知x²f′（x）+xf（x）=lnx，f（e）=$\frac{1}{e}$，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增
• B． f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
• C． f（x）在（0，+∞）上有極大值
• D． f（x）在（0，+∞）上有極小值

Answer 1

分析 第一步：在x²f′（x）+xf（x）=lnx兩邊同時除以x，使得左邊為[xf（x）]'；
第二步：令g（x）=xf（x），用g（x）表示f（x），并寫出f'（x）；
第三步：對f'（x）的分子再求導(dǎo)，從而求出分子的最大值；
第四步：判斷f'（x）的符號，即可判斷f（x）的單調(diào)性．

解答 解：由x²f′（x）+xf（x）=lnx，得xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
從而[xf（x）]'=$\frac{lnx}{x}$，
令g（x）=xf（x），則f（x）=$\frac{g（x）}{x}$，∴$f'（x）=\frac{xg'（x）-g（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-g（x）}{{x}^{2}}$，
令h（x）=lnx-g（x），則h'（x）=$\frac{1}{x}-g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}=\frac{1-lnx}{x}$（x＞0），
令h'（x）＞0，即1-lnx＞0，得0＜x＜e時，h（x）為增函數(shù)；
令h'（x）＜0，即1-lnx＜0，得x＞e時，h（x）為減函數(shù)；
由f（e）=$\frac{1}{e}$，得g（e）=ef（e）=1．
∴h（x）在（0，+∞）上有極大值h（e）=lne-g（e）=1-1=0，也是最大值，
∴h（x）≤0，即f'（x）≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=e時，f'（x）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，難度較大．“在x²f′（x）+xf（x）=lnx兩邊同時除以x”是解題的突破口，“求h（x）的極大值”是關(guān)鍵．