Question

10．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₁=$\frac{1}{2}$，點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）（n∈N⁺）在直線y=x上，令b_n=a_n+1-a_n-1，求a_n，b_n，S_n．

Answer 1

分析 依題意，知2a_n+1-a_n=n，2a_n-a_n-1=n-1（n≥2），兩式相減可得2（a_n+1-a_n-1）=a_n-a_n-1-1（n≥2），令b_n=a_n+1-a_n-1，易證數(shù)列{b_n}是公比為$\frac{1}{2}$等比數(shù)列，易求b₁=a₂-a₁-1=-$\frac{3}{4}$，從而可求得b_n，再利用等比數(shù)列的求和公式及累加法可求得a_n；最后利用分組求和法可得S_n．

解答 解：∵點(diǎn)（n，2a_n+1-a_n）（n∈N⁺）在直線y=x上，
∴2a_n+1-a_n=n，
∴2a_n-a_n-1=n-1（n≥2），
兩式相減得：2（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=1（n≥2），
即2（a_n+1-a_n-1）=a_n-a_n-1-1（n≥2），
又b_n=a_n+1-a_n-1，
∴b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1（n≥2），
∴數(shù)列{b_n}是公比為$\frac{1}{2}$等比數(shù)列，又a₁=$\frac{1}{2}$，2a₂-a₁=1，故a₂=$\frac{3}{4}$，所以b₁=a₂-a₁-1=-$\frac{3}{4}$，
∴b_n=（-$\frac{3}{4}$）×$（\frac{1}{2}）^{{n}^{-1}}$；
∴b₁+b₂+…+b_n-1=[（a₂-a₁-1）+（a₃-a₂-1）+…+（a_n-a_n-1-1）]=a_n-a₁-（n-1）=$\frac{-\frac{3}{4}（1-{（\frac{1}{2}）}^{n-1}）}{1-\frac{1}{2}}$=-$\frac{3}{2}$+3×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴a_n=（n-2）+3×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=[（-1+0+1+…+（n-2）]+3[$\frac{1}{2}$+$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+${（\frac{1}{2}）}^{n}$]=$\frac{（n-3）n}{2}$+3×$\frac{\frac{1}{2}（1-{（\frac{1}{2}）}^{n}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{{n}^{2}-3n+6}{2}$-3×$（\frac{1}{2}）^{n}$．

點(diǎn)評 本題考查遞推數(shù)列的關(guān)系式的應(yīng)用，考查等比關(guān)系的確定是關(guān)鍵，突出考查累加法與分組求和，考查等價轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．