Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（{2ωx-\frac{π}{3}}）+b（ω＞0）$，且該函數(shù)圖象的對稱中心到對稱軸的最小距離為$\frac{π}{4}$，當$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$時，f（x）的最大值為1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若f（x）-3≤m≤f（x）+3在$[{0，\frac{π}{3}}]$上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱中心到對稱軸的最小距離為$\frac{π}{4}$，可得周期T，從而求解ω，當$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$時，求解出內層函數(shù)的范圍，求解f（x）的最大值，令其等于1．求解b可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）將內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（3）當$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$時，f（x）的最大值為1．只需求解最小值，可得m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（{2ωx-\frac{π}{3}}）+b（ω＞0）$，
∵對稱中心到對稱軸的最小距離為$\frac{π}{4}$，
∴周期T=4×$\frac{π}{4}=π$．
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，
∴ω=1，
故得f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+b
當$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$上時，
2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
則sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
∴f（x）的最大值為$\frac{3}{2}$+b=1，
∴b=$-\frac{1}{2}$．
那么：f（x）最小值為-2．
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
可得：$-\frac{π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$．
f（x）的單調遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{12}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z，
（3）由（1）可知當$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$時，f（x）的最大值為1．最小值為-2．
f（x）-3≤m≤f（x）+3在$[{0，\frac{π}{3}}]$上恒成立，
即：-2-3≤m≤1+3，
可得：-5≤m≤4．
故得m的取值范圍是[-5，4]．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，確定f（x）的解析式是解決本題的關鍵．屬于中檔題．