Question

4．已知離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$過點$（{1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，點F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點，過F₁的直線l與C交于A，B兩點，且${S_{△AB{F_2}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率，以及橢圓過點$（{1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，列出方程求出a，b即可求出橢圓方程．
（2）F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；當(dāng)直線l的斜率不存在時，寫出直線方程判斷是否滿足題意；設(shè)直線方程為l：y=k（x+1）；代入橢圓方程，通過韋達(dá)定理：弦長公式，點到直線的距離公式，通過三角形的面積，求解k，然后利用數(shù)量積判斷求解即可．

解答 解：（1）點F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左右焦點，橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$；
由離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得：$\frac{{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
過點$（{1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$得：$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1$；
所以，$a=\sqrt{2}$，b=1；橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）證明：由（1）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）；令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線方程為l：x=-1；
此時，${S_{△AB{F_2}}}=\sqrt{2}$，不滿足；設(shè)直線方程為l：y=k（x+1）；
代入橢圓方程得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0△=16k⁴-4×（1+2k²）（2k²-2）＞0
韋達(dá)定理：${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$；
所以，$|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{2{k^2}+2}}}{{1+2{k^2}}}$，
y₁y₂=k²（x₁x₂+x₂+x₁+1）=-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$；
所以，$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{2}（{1+{k^2}}）}}{{1+2{k^2}}}$；
點F₂到直線l的距離為$d=\frac{{|{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$；
所以，由${S_{△AB{F_2}}}=\frac{1}{2}×|{AB}|×d=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$得：k²=2；
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}=0$，
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$
所以，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．