Question

1．若數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），則數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的各項(xiàng)和為1．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），變形為a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：1+a_n，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和．

解答 解：a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴1+a_n=2ⁿ，
∴$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{1+{a_n}}}}\right\}$的各項(xiàng)和為：$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．