Question

11．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為e，過(guò)F₂的直線與橢圓的交于A，B兩點(diǎn)，若△F₁AB是以A為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e²=（　�。�

• A． 3-2$\sqrt{2}$
• B． 5-3$\sqrt{2}$
• C． 9-6$\sqrt{2}$
• D． 6-4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 設(shè)|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，若△ABF₁構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，再由橢圓的定義和周長(zhǎng)的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$．

解答 解：解：如圖，設(shè)|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，
若△ABF₁構(gòu)成以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
則|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，
由橢圓的定義可得△ABF₁的周長(zhǎng)為4a，
即有4a=2m+$\sqrt{2}$m，即m=2（2-$\sqrt{2}$）a，
則|AF₂|=2a-m=（2$\sqrt{2}$-2）a，
在直角三角形AF₁F₂中，
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²，即4c²=4（2-$\sqrt{2}$）²a²+4（$\sqrt{2}$-1）²a²，
∴c²=（9-6$\sqrt{2}$）a²，則e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=9-6$\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，同時(shí)考查勾股定理的運(yùn)用，靈活運(yùn)用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵，是中檔題．