【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ，a為常數(shù)，且a∈（0，1）．
（1）若x0滿足f（x0）=x0 ， 則稱x0為f（x）的一階周期點(diǎn)，證明函數(shù)f（x）有且只有兩個一階周期點(diǎn)；
（2）若x0滿足f（f（x0））=x0 ， 且f（x0）≠x0 ， 則稱x0為f（x）的二階周期點(diǎn)，當(dāng)a= 時，求函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)．

【答案】
（1）證明：由題可得，當(dāng)0≤x≤a時， ，因為a∈（0，1），所以x=0；

當(dāng)a＜x≤1時， ，因為a∈（0，1），所以x= ，

所以函數(shù)f（x）有且只有兩個一階周期點(diǎn)．


（2）解：當(dāng) 時，

所以

當(dāng) 時，由4x=x，解得x=0，

因為f（0）=0，故x=0不是f（x）的二階周期點(diǎn)；

當(dāng) 時，由2﹣4x=x，解得 ，

因為 ，故 是f（x）的二階周期點(diǎn)；

當(dāng) 時，由4x﹣2=x，解得 ，

因為 ，故 不是f（x）的二階周期點(diǎn)；

當(dāng) 時，由4﹣4x=x，解得 ，

因為 ，故 是f（x）的二階周期點(diǎn)；

綜上，當(dāng) 時，函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)為x1= ，x2= ．


【解析】（1）利用定義通過當(dāng)0≤x≤a時，當(dāng)a＜x≤1時，驗證函數(shù)f（x）有且只有兩個一階周期點(diǎn)．（2）當(dāng) 時， ，推出 ，利用函數(shù)的定義域，通過分段求解即可．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)g（x）= +lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣ ﹣lnx（m∈R）．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)h（x）= ，若在[1，e]上至少存在一個x0 ， 使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范圍．

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【題目】若函數(shù)滿足（其中且）.

（1）求函數(shù)的解析式，并判斷其奇偶性和單調(diào)性；

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【題目】某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水果樹的產(chǎn)量（單位：百千克）與肥料費(fèi)用（單位：百元）滿足如下關(guān)系： .此外，還需要投入其它成本（如施肥的人工費(fèi)等）百元.已知這種水果的市場售價為16元/千克（即16百元/百千克），且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水果樹獲得的利潤為（單位：百元）.

（1）求的函數(shù)關(guān)系式；

當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時，該水果樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

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【題目】設(shè){an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.若a1+a2＞0，則a2+a3＞0
B.若a1+a2＜0，則a2+a3＜0
C.若0＜a1＜a2 ， 則a2＞
D.若a1＜0，則（a2﹣a1）（a2﹣a3）＜0

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【題目】已知點(diǎn)P（t，t），點(diǎn)M是圓O1：x2+（y﹣1）2= 上的動點(diǎn)，點(diǎn)N是圓O2：（x﹣2）2+y2= 上的動點(diǎn)，則|PN|﹣|PM|的最大值是（ ）
A.1
B. ﹣2
C.2+
D.2

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【題目】如圖，已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率e= ，過點(diǎn)（0，﹣b），（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為 ，M（x0 ， y0）是橢圓上任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若記直線OP，OQ的斜率分別為k1 ， k2 ， 試求k1k2的值．

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【題目】如圖為一組合幾何體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD且PD=AD=2EC=2．
（I）求證：AC⊥平面PDB；
（II）求四棱錐B﹣CEPD的體積；
（III）求該組合體的表面積．

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【題目】設(shè)f（x）是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的x、y∈R都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1= ，an=f（n）（n∈N*），則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是（ ）
A.[ ，1）
B.[ ，1]
C.（ ，1）
D.（ ，1]

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