已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合，直線x-y+
2
2
=0與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求該橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)．記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2．試問：是否存在直線AB，使得S1=S2？說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知條件得c=1，
c
a
=
1
2
，由此能求出橢圓C的方程．
（2）假設(shè)存在直線AB，使得S1=S2，由題意知直線AB不能與x，y垂直，直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x+1），將其代入
x2
4
+
y2
3
=1，整整，得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，由此利用直線垂直、三角形相似、弦長公式等知識(shí)點(diǎn)推導(dǎo)出8k2+9=0，無解，從而得以不存在直線AB，使得S1=S2．
解答： 解：（1）依題意，得c=1，e=
|0-0+
2
2
|
2
=
1
2
，
即
c
a
=
1
2
，∴a=2，∴b=1，
∴所求橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．（5分）
（2）假設(shè)存在直線AB，使得S1=S2，由題意知直線AB不能與x，y垂直，
∴直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x+1），
將其代入
x2
4
+
y2
3
=1，整整，得：
（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
-8k2
4k2+3
，y1+y2=
6k
4k2+3
，
∴G（
-4k2
4k2+3
，
3k
4k2+3
），∵DG⊥AB，
∴
3k
4k2+3
-4k2
4k2+3
×k=-1，
解得xD=
-k2
4k2+3
，即D（
-k2
4k2+3
，0），
∵△GFD∽△OED，∴
|GF|
|OE|
=
|DG|
|OD|
，∴
|GF|
|OE|
•
|DG|
|OD|
=(
|DG|
|OD|
)2，
即
S1
S2
=(
|DG|
|OD|
)2，
又∵S1=S2，∴|GD|=|OD|，（11分）
∴
(
-k2
4k2+3
-
-4k2
4k2+3
)2+(
3k
4k2+3
)2
=|
-k2
4k2+3
|，
整理得8k2+9=0，∵此方程無解，
∴不存在直線AB，使得S1=S2．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn，且Sn=
5
2
n2-
3
2
n（n∈N*），bn=
1
5
（an+4）．
（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式，并證明{an}是等差數(shù)列
（2）證明不等式
5amn
-
aman
＞1對(duì)任意m、n∈N*都成立
（3）若數(shù)列dn=3bn+（-1）n-1•λ•2bn（n∈N*），問是否存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)于任意正整數(shù)n，都有dn+1＞dn？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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已知：拋物線y2=4x，直線l過定點(diǎn)Q（2，0）．
（Ⅰ）已知直線l與x軸不垂直且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E（m，0），使得直線AE與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知直線l與x軸垂直，拋物線的一條切線與y軸和直線l分別交于M、N兩點(diǎn)，自點(diǎn)M引以QN為直徑的圓的切線，切點(diǎn)為T，證明：|MT|為定值，并求出該定值．

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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n+1，
（1）寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；
（2）數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎？說明理由．
（3）寫出{an}的通項(xiàng)公式．

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已知集合M={1，
a
b
，b}，N={0，a+b，b2}，M=N，求a1+b1+a2+b2+…+an+bn．

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如圖在邊長為a的正方形ABCD中，E、F分別為邊BC、CD中點(diǎn)，設(shè)
AB
=
α
，
AD
=
β
．
（1）試用
α
、
β
表示向量
AE
、
AF
；
（2）求向量
AE
、
AF
夾角的余弦值大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（sinx，2
3
sinx），
b
=（2cosx，sinx）定義f（x）=
a
•
b
-
3
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？

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已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1+2a2=1，a32=4a2a6．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1+㏑x
x
．
（1）若函數(shù)在區(qū)間（t，t+
1
2
）（其中t＞0）上存在極值，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）如果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥
a
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）證明：[（n+1）!]2＞（n+1）•en-2（n∈N+）．

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