Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F與拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，直線x-y+

2

2

=0與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求該橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)．記△GFD的面積為S₁，△OED的面積為S₂．試問：是否存在直線AB，使得S₁=S₂？說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得c=1，

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）假設(shè)存在直線AB，使得S₁=S₂，由題意知直線AB不能與x，y垂直，直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x+1），將其代入

x2

4

+

y2

3

=1，整整，得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用直線垂直、三角形相似、弦長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)推導(dǎo)出8k²+9=0，無解，從而得以不存在直線AB，使得S₁=S₂．

解答： 解：（1）依題意，得c=1，e=

|0-0+ 2 2 |

2

=

1

2

，
即

c

a

=

1

2

，∴a=2，∴b=1，
∴所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）假設(shè)存在直線AB，使得S₁=S₂，由題意知直線AB不能與x，y垂直，
∴直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x+1），
將其代入

x2

4

+

y2

3

=1，整整，得：
（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-8k2

4k2+3

，y1+y2=

6k

4k2+3

，
∴G（

-4k2

4k2+3

，

3k

4k2+3

），∵DG⊥AB，
∴

3k 4k2+3

-4k2 4k2+3

×k=-1，
解得xD=

-k2

4k2+3

，即D（

-k2

4k2+3

，0），
∵△GFD∽△OED，∴

|GF|

|OE|

=

|DG|

|OD|

，∴

|GF|

|OE|

•

|DG|

|OD|

=(

|DG|

|OD|

)2，
即

S1

S2

=(

|DG|

|OD|

)2，
又∵S₁=S₂，∴|GD|=|OD|，（11分）
∴

( -k2 4k2+3 - -4k2 4k2+3 )2+( 3k 4k2+3 )2

=|

-k2

4k2+3

|，
整理得8k²+9=0，∵此方程無解，
∴不存在直線AB，使得S₁=S₂．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．