已知：拋物線y2=4x，直線l過定點(diǎn)Q（2，0）．
（Ⅰ）已知直線l與x軸不垂直且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E（m，0），使得直線AE與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知直線l與x軸垂直，拋物線的一條切線與y軸和直線l分別交于M、N兩點(diǎn)，自點(diǎn)M引以QN為直徑的圓的切線，切點(diǎn)為T，證明：|MT|為定值，并求出該定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）設(shè)直線方程為y=k（x-2），代入y2=4x，得y2-
4
k
-y-8=0，由直線AE與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，得-2（y1+y2）-m（y1+y2）=0，由此能求出E（-2，0）．
（2）設(shè)切點(diǎn)P（x0，y0）由對(duì)稱性不妨設(shè)y0＞0，切線方程為：y-y0=
1
x0
(x-x0)，且y0=2
x0
，切線與y軸的交點(diǎn)為M（0，
x0
），又切線與直線l交點(diǎn)N（2，
x0
+
2
x0
），由此能證明|MT|=
2
為定值．
解答： （Ⅰ）解：∵l與x軸不垂直，設(shè)直線方程為y=k（x-2），
代入y2=4x，得y2=(
y
k
+2)×4，即y2-
4
k
-y-8=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=
4
k
，y1y2=-8，
∵直線AE與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，
kAE+kBE=0，
∴
y1
x1-m
+
y2
x2-m
=0，
∴y1x2+y2x1-m（y1+y2）=0，
即y1•
y22
4
+y2•
y12
4
-m(y1+y2)=0，
整理，得-2（y1+y2）-m（y1+y2）=0，
∴（m+2）•
4
k
=0，∴m=-2，
即E（-2，0）．
（Ⅱ）證明：設(shè)切點(diǎn)P（x0，y0）由對(duì)稱性不妨設(shè)y0＞0，
則拋物線切線的斜率k=（2
x
）′| x=x0=
1
x0
，
∴切線方程為：y-y0=
1
x0
(x-x0)，且y0=2
x0
，
令x=0，∴y=y0-
x0
=2
x0
-
x0
=
x0
，
∴切線與y軸的交點(diǎn)為M（0，
x0
），
又切線與直線l交點(diǎn)N，
令x=0，則y=y0+
2
x0
-x0=
x0
+
2
x0
，
∴N（2，
x0
+
2
x0
），
則以O(shè)N為直徑的圓的圓心O′（2，
x0
2
+
1
x0
），
半徑r=
x0
2
+
1
x0
，
|MT|2=|MO|2-r2=4+（
1
x0
+
x0
2
）2-（
x0
2
+
1
x0
）2=4，
∴|MT|=
2
為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)E的坐標(biāo)的求法，考查線段長(zhǎng)為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，直線PB與平面ABCD所成角為
π
4
，AB=2，BC=4，E是PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值；
（Ⅲ）求多面體PABCE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
，其中a為實(shí)常數(shù)，試討論f（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)的單調(diào)性證明之．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

當(dāng)x∈R，|x|＜1時(shí)，有如下表達(dá)式：1+x+x2+…+xn+…=
1
1-x
，兩邊同時(shí)積分得：
∫
1
2
0
ldx+
∫
1
2
0
xdx+
∫
1
2
0
x2dx+…+
∫
1
2
0
xndx+…=
∫
1
2
0
1
1-x
dx，從而得到如下等式：1×
1
2
+
1
2
×（
1
2
）2+
1
3
×（
1
2
）3+…+
1
n+1
×（
1
2
）n+1+…=ln2，請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：C
 
0
n
×
1
2
+
1
2
C
 
1
n
×（
1
2
）2+
1
3
C
2
n
×（
1
2
）3+…+
1
n+1
C
n
n
×（
1
2
）n+1=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足a2=-2，公差d=-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）設(shè)bn=an+2n-1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上．
（1）求證：AD⊥平面PBE
（2）若VP-BCDE=2VQ-ABCD，試求
CP
CQ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知|
a
|=3，|
b
|=
3
，（
a
+
b
）•（
a
-2
b
）=4．
（1）求
a
•
b

（2）求|
a
+
b
|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合，直線x-y+
2
2
=0與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求該橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)．記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2．試問：是否存在直線AB，使得S1=S2？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（3，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為5．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M滿足|
MF
|=1且
MP
•
MF
=0，求|
PM
|的最小值；
（3）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)Q是橢圓上異于A1、A2的任一點(diǎn)，直線QA1、QA2分別于x軸交于點(diǎn)D、E，若直線OT與過點(diǎn)D、E的圓相切，切點(diǎn)為T，試探究線段OT的長(zhǎng)是否為定值？若是定值，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．

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