如圖在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，E、F分別為邊BC、CD中點(diǎn)，設(shè)
AB
=
α
，
AD
=
β
．
（1）試用
α
、
β
表示向量
AE
、
AF
；
（2）求向量
AE
、
AF
夾角的余弦值大小．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由E、F分別為邊BC、CD中點(diǎn)，
AB
=
α
，
AD
=
β
．利用向量的三角形法則和向量相等可得
AE
=
AB
+
BE
=
α
+
1
2
β
，同理
AF
=
1
2
α
+
β
．
（2）
α
•
β
=0．由（1）可得：利用向量的數(shù)量積性質(zhì)和模的計(jì)算公式可得
AE
•
AF
=a2.|
AE
|=
5
2
a，|
AF
|=
5
2
a．再利用向量夾角公式可得cos＜
AE
，
AF
＞=
AE
•
AF
|
AE
| |
AF
|
即可得出．
解答： 解：（1）∵E、F分別為邊BC、CD中點(diǎn)，
AB
=
α
，
AD
=
β
．
∴
AE
=
AB
+
BE
=
AB
+
1
2
BC
=
AB
+
1
2
AD
=
α
+
1
2
β
，
同理
AF
=
1
2
α
+
β
．
（2）
α
•
β
=0．
由（1）可得：
AE
•
AF
=(
α
+
1
2
β
)•(
1
2
α
+
β
)=
1
2
α
2+
1
2
β
2=a2．
|
AE
|=
α
2+
1
4
β
2+
α
•
β
=
5
2
a，同理可得|
AF
|=
5
2
a．
∴cos＜
AE
，
AF
＞=
AE
•
AF
|
AE
| |
AF
|
=
a2
5
4
a2
=
4
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的三角形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量的夾角公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB=2，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求證：BE⊥CD；
（3）求三棱錐P-ACD的體積V．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上．
（1）求證：AD⊥平面PBE
（2）若VP-BCDE=2VQ-ABCD，試求
CP
CQ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（
π
4
+x）cos（
π
4
-x）-1
（1）求函數(shù)f（x）的周期；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2
3
cos2x，試求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若f2（x）-cos2x≥m2-m-7恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合，直線x-y+
2
2
=0與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．
（1）求該橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)．記△GFD的面積為S1，△OED的面積為S2．試問(wèn)：是否存在直線AB，使得S1=S2？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知OPQ是半徑為1，圓心角為
π
4
的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)．ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COP=θ．
（1）求當(dāng)角θ取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大值．
（2）當(dāng)矩形ABCD的面積為
6
-2
4
時(shí)，求角θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=4，公比q≠1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且4a1，a5，-2a3成等差數(shù)列．
（1）求公比q的值；
（2）求Tn=a2+a4+…+a2n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，已知AB=2，AD=2
2
，PA=2，
（1）求PC與平面ABCD所成角的大�。�
（2）求三棱錐P-ABE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
sinx， 當(dāng)sinx≥cosx
cosx， 當(dāng)sinx＜cosx
，現(xiàn)有下列四個(gè)命題：
p1：函數(shù)f（x）的值域是[-1，1]；
p2：當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+
3π
2
（k∈Z）時(shí)，f（x）＜0；
p3：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ+
π
2
（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最大值1；
p4：函數(shù)f（x）是以2π為最小正周期的周期函數(shù)．
其中為真命題的是
 
．

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