Question

9．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}，0＜x＜1}\\{0，其他}\end{array}\right.$．
（1）求常數(shù)a，使P（X＞a）=P（X＜a）；
（2）求常數(shù)b，使P（X＞b）=0.05．

Answer 1

分析 利用連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}，0＜x＜1}\\{0，其他}\end{array}\right.$，結(jié)合定積分知識(shí)建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，${∫}_{0}^{a}{4}^{x}dx$=${∫}_{a}^{1}{4}^{x}dx$，
∴$\frac{{4}^{x}}{ln4}$${|}_{0}^{a}$=$\frac{{4}^{x}}{ln4}$${|}_{a}^{1}$，
∴$\frac{{4}^{a}}{ln4}-\frac{1}{ln4}$=$\frac{4}{ln4}-\frac{{4}^{a}}{ln4}$，
∴a=log₄2.5；
（2）由題意，${∫}_^{1}{4}^{x}dx$=0.05，
∴$\frac{{4}^{x}}{ln4}$${|}_^{1}$=0.05，
∴$\frac{4-{4}^}{ln4}$=0.05，
∴b=log₄（4-0.05ln4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了連續(xù)型隨機(jī)變量x的分布函數(shù)，及概率的求解方法，考查定積分知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，面積即為概率的知識(shí)，比較基礎(chǔ)．