Question

一個口袋中裝有大小形狀完全相同的n+3張卡片，其中一張卡片上標(biāo)有數(shù)字1，二張卡片上標(biāo)有數(shù)字2，其余n張卡片上均標(biāo)有數(shù)字3（n∈N^*），若從這個口袋中隨機(jī)地抽出二張卡片，恰有一張卡片上標(biāo)有數(shù)字2的概率是

8

15

，
（Ⅰ）求n的值．
（Ⅱ） 從口袋中隨機(jī)地抽出2張卡片，設(shè)ξ表示抽得二張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和，求ξ的分布列和關(guān)于ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用題設(shè)條件得到

C 1 n+1 C 1 2

C 2 n+3

=

8

15

，由此能求出n．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ取值為3，4，5，6，由已知條件分別求出P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），P（ξ=6），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)得到

C 1 n+1 C 1 2

C 2 n+3

=

8

15

，
整理，得2n2 -5n-3=0，
解得n=3．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ取值為3，4，5，6．
P（ξ=3）=

C 1 1 C 1 2 C 0 3

C 2 6

=

2

15

，
P（ξ=4）=

C 2 2 C 0 4 + C 1 1 C 0 2 C 1 3

C 2 6

=

4

15

，
P（ξ=5）=

C 0 1 C 1 2 C 1 3

C 2 6

=

6

15

，
P（ξ=6）=

C 0 1 C 0 2 C 2 3

C 2 6

=

3

15

，
ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6
P	2 15	4 15	6 15	3 15

∴Eξ=3×

2

15

+4×

4

15

+5×

6

15

+6×

3

15

=

14

3

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，解題時要注意排列組合知識的合理運(yùn)用，是中檔題．