Question

20．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=3，BC=2，∠ABC=60°，動點E，F(xiàn)分別在線段BC和CD上，且$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DC}=2λ\overrightarrow{DF}$，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$的最小值為5．

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，過點C作CK⊥AB，垂足為K．由∠KBC=60°，BC=2，可得BK=1，CK=$\sqrt{3}$．DC=AK=3-1=2，利用$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DC}=2λ\overrightarrow{DF}$，（0≤λ≤1）．可得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2λ}\overrightarrow{DC}$．再利用數(shù)量積運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示
建立直角坐標(biāo)系，過點C作CK⊥AB，垂足為K．
∵∠KBC=60°，BC=2，∴BK=1，CK=$\sqrt{3}$．
∴DC=AK=3-1=2，
∴A（0，0），B（3，0），C（2，$\sqrt{3}$），D（0，$\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DC}=2λ\overrightarrow{DF}$，（0≤λ≤1）．
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$λ\overrightarrow{BC}$=$（3-λ，\sqrt{3}λ）$，
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2λ}\overrightarrow{DC}$=$（\frac{1}{λ}，\sqrt{3}）$．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}$=$（3-λ）×\frac{1}{λ}$+3λ=3λ+$\frac{3}{λ}$-1≥3×$2\sqrt{λ×\frac{1}{λ}}$-1=5，當(dāng)且僅當(dāng)λ=1時取等號．
故答案為：5．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算及其數(shù)量積運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．