9.若x>1,y>$\frac{1}{2}$,不等式$\frac{{x}^{2}}{a(2y-1)}$+$\frac{4{y}^{2}}{a(x-1)}$≥1恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值是( 。
A.8B.4C.2$\sqrt{2}$D.$\sqrt{2}$

分析 化簡可得a≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立,從而令2y-1=m,x-1=n,從而化$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$=$\frac{(1+n)^{2}}{m}$+$\frac{(1+m)^{2}}{n}$,從而利用基本不等式確定最小值,從而解得.

解答 解:∵$\frac{{x}^{2}}{a(2y-1)}$+$\frac{4{y}^{2}}{a(x-1)}$≥1恒成立,
∴$\frac{1}{a}$($\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$)≥1恒成立,
∵x>1,y>$\frac{1}{2}$,
∴2y-1>0,x-1>0,
故a>0,
故可化為a≤$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$恒成立,
令2y-1=m,x-1=n,
則2y=1+m,x=1+n,(m>0,n>0);
故$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$
=$\frac{(1+n)^{2}}{m}$+$\frac{(1+m)^{2}}{n}$
≥$\frac{4n}{m}$+$\frac{4m}{n}$,
(當(dāng)且僅當(dāng)n=m=1時(shí),等號(hào)成立);
又∵$\frac{4n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥8,
(當(dāng)且僅當(dāng)n=m時(shí),等號(hào)成立);
綜上所述,當(dāng)n=m=1,
即x=2,y=1時(shí),等號(hào)成立;
故$\frac{{x}^{2}}{2y-1}$+$\frac{4{y}^{2}}{x-1}$的最小值為8,
故實(shí)數(shù)a的最大值是8,
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的變形應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及恒成立問題與最值問題,同時(shí)考查了換元法的應(yīng)用.

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