Question

5．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+ax+\frac{1}{2}，（x≤1）}\\{2{a}^{x}-1，（x＞1）}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由題意利用 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得 $\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≥\sqrt{\frac{a}{3}}}\\{-1+a+\frac{1}{2}≥2a-1}\end{array}\right.$，由此求得a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}+ax+\frac{1}{2}，（x≤1）}\\{2{a}^{x}-1，（x＞1）}\end{array}\right.$（a＞0且a≠1）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤1時(shí)，f′（x）=-3x²+a≤0，且-1+a+$\frac{1}{2}$≥2a-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≥\sqrt{\frac{a}{3}}}\\{-1+a+\frac{1}{2}≥2a-1}\end{array}\right.$，求得0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．