Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=$\frac{1}{2}$BC，點E、F分別是棱PB、邊CD的中點．
（1）求證：AB⊥面PAD；
（2）求證：EF∥面PAD．

Answer 1

分析 （1）經點D作DG∥AB，交BC于G點，可證四邊形ABGD為平行四邊形，利用勾股定理可證CG⊥DG，從而可證AB⊥AD，再證PD⊥AB，即可證明AB⊥平面PAD．
（2）取AB的中點M，連接FM，EM，可證EM∥PA，F(xiàn)M∥AD，既有面EFM∥面PAD，進而可證EF∥面PAD．

解答 證明：（1）經點D作DG∥AB，交BC于G點，
∵AD∥BC，四邊形ABGD為平行四邊形，CD=13，AB=12，BC=10，AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴CG=BC-BG=5，GD=AB=12，
∴CG²+GD²=5²+12²=CD²=13²，
∴CG⊥DG，
∴AB⊥AD，
又∵PD⊥面ABCD，AB?面ABCD，
∴PD⊥AB，
∵PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD
（2）取AB的中點M，連接FM，EM，
∵點E、F分別是棱PB、邊CD的中點．
∴EM∥PA，F(xiàn)M∥AD，
∵EM∩FM=M，DA∩PA=A，
∴面EFM∥面PAD，
又∵EF?面EFM，
∴EF∥面PAD．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．