Question

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)，且f(2)＝.

(1)求實(shí)數(shù)m和n的值；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上的最值．

Answer 1

【答案】（1）實(shí)數(shù)m和n的值分別是2和0；（2）.

【解析】試題分析: 已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式是函數(shù)的奇偶性常見考試題，由于函數(shù)是奇函數(shù)，則，又f(2)= ，列方程組解出m，n，求出函數(shù)的解析式，有了函數(shù)的解析式可以利用定義研究函數(shù)的單調(diào)性，也可借助對(duì)勾函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，也可借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求函數(shù)在某區(qū)間上的最值.

試題解析：

(1)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，

∴ .

比較得n＝－n，n＝0.

又f(2)＝，∴，解得m＝2.

因此，實(shí)數(shù)m和n的值分別是2和0.

(2)由(1)知f(x)＝ .

任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，

則f(x1)－f(x2)＝ (x1－x2) (x1－x2)· .

∵－2≤x1＜x2≤－1時(shí)，

∴x1－x2＜0，x1x2＞0，x1x2－1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

∴函數(shù)f(x)在[－2，－1]上為增函數(shù)，

因此f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－.