Question

【題目】設(shè)函數(shù)，．

（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）的最小值是；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，函數(shù)的極值點(diǎn)為 ，所以得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，也就得到函數(shù)的最小值了；（2）根據(jù) ，參變分離后得到 ，設(shè) ，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，以及圖象特征，轉(zhuǎn)化為 與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，∴

當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上是增函；

∴當(dāng)時(shí)，取最小值．

（2）∵函數(shù)，

令，得；

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)；

當(dāng)是的極值點(diǎn)，且是唯一極大值點(diǎn)，∴是的最大值點(diǎn)；

∴的最大值為，又結(jié)合的圖像，

可知：

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).