Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，N是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若PA=1，求二面角B﹣PC﹣D的大小；
（Ⅱ）求AN與平面PCD所成角的正弦值的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，作BM⊥PC，連接MD，
由于RT△PBC≌RT△PDC，
則DM⊥PC，∴∠BMD就是所求二面角的平面角．
PA=AB=1，∴ ，∴ ．
同理 ，又 ，
在△BDM中，
由余弦定理得 ，
二面角B﹣PC﹣D的大小為 ．
（Ⅱ）設(shè)AN與平面PCD所成角為α，PA=h．
作AQ⊥PD又CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PCD，
因此在RT△AQN中， ．
∵在RT△PAD中， ，
在RT△PAC中， ， ，
∵ ，
．


【解析】（Ⅰ）四邊性ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，作BM⊥PC，連接MD，可得RT△PBC≌RT△PDC，DM⊥PC，因此∠BMD就是所求二面角的平面角．再利用余弦定理即可得出．（II）設(shè)AN與平面PCD所成角為α，PA=h．作AQ⊥PD，又CD⊥AQ，可得AQ⊥平面PCD，利用直角三角形的邊角關(guān)系可得： ，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的空間角的異面直線(xiàn)所成的角，需要了解已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．