Question

定義運算：

.

a b c d

.

=ad-bc．
（1）若角α是△ABC的一個內(nèi)角，且

.

sinα cosα -1 1

.

=

1

5

，請判斷△ABC形狀并求sinα-cosα的值；
（2）求f（x）=

.

cosx 4 msinx cosx

.

-3m（m∈R）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)給定的運算法則，結(jié)合三角函數(shù)公式進(jìn)行求解；
（2）首先，化簡函數(shù)，然后，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）由

.

sinα cosα -1 1

.

=

1

5

，得
sinα+cosα=

1

5

，
上式兩邊平方，得
1+2sinαcosα=

1

25

，
∴2sinαcosα=-

24

25

＜0，①
∵角α是△ABC的一個內(nèi)角，
∴0＜α＜π，
∴sinα＞0，結(jié)合①得
cosα＜0，
∴角α是鈍角，
∴△ABC是鈍角三角形，
∵sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1-2sinαcosα

=

1-(- 24 25 )

=

7

5

，
∴sinα-cosα的值

7

5

．
（2）f（x）=

.

cosx 4 msinx cosx

.

-3m=cos²x-4msinx-3m
=1-sin²x-4msinx-3m
=-sin²x-4msinx+1-3m
令sinx=t，t∈[-1，1]．
∴g（t）=-t²-4mt+1-3m=-（t-2m）²+1-3m-4m²
當(dāng)2m≤-1時，即m≤-

1

2

，
g（t）_max=g（-1）=m，
當(dāng)-1＜2m＜1時，即-

1

2

＜m＜

1

2

，
g（t）_max=g（2m）=1-3m-4m²，
當(dāng)2m≥1時，即m≥

1

2

，
g（t）_max=g（1）=-7m，
∴f（x）=

.

cosx 4 msinx cosx

.

-3m（m∈R）的最大值：
h（m）=

m   ．m≤- 1 2 1-3m-4m2，  - 1 2 ＜m＜ 1 2 -7m      ，   m≥ 1 2

．

點評：本題重點考查了三角公式，三角恒等變換等公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．