Question

18．與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有共同漸近線且焦距為12的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，或$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)所求雙曲線的方程為y²-$\frac{4}{5}$x²=λ（λ≠0），討論λ＞0，λ＜0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得a，b，c，解方程可得所求方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{2}{\sqrt{5}}$x，
設(shè)所求雙曲線的方程為y²-$\frac{4}{5}$x²=λ（λ≠0），
當(dāng)λ＞0，可得$\frac{{y}^{2}}{λ}$-$\frac{{x}^{2}}{\frac{5}{4}λ}$=1，
即有c²=λ+$\frac{5}{4}$λ=36，解得λ=16，
即有雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{20}$=1；
當(dāng)λ＜0，可得$\frac{{x}^{2}}{-\frac{5}{4}λ}$-$\frac{{y}^{2}}{-λ}$=1，
即有c²=-λ-$\frac{5}{4}$λ=36，解得λ=-16，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，或$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{20}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用漸近線方程和分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．