Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

），x∈R
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與對(duì)稱軸方程；
（II）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）
=

1

2

sin2x+

3

2

sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）．
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin²x-cos²x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=sin（2x-

π

6

）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得2kπ-

π

3

≤2x≤2kπ+

2π

3

，k∈Z
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，∴單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

6

kπ+

π

3

]，k∈Z
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，得：x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
對(duì)稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z，
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，因?yàn)閒（x）=sin（2x-

π

6

）
在區(qū)間[-

π

12

，

π

3

]上單調(diào)遞增．在區(qū)間[

π

3

，

π

2

]單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=

π

3

，f（x）取最大值l．
又∵f（-

π

12

）=-

3

2

＜f（

π

2

）=

1

2

，當(dāng)x=-

π

12

時(shí)，f（x）取最小值-

3

2

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域?yàn)閇-

3

2

，1]．