Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，n（a_n+1-a_n）=a_n+n²+n，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{

an

n

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)a_n=（

2nbn

32n+1

）²，求正項數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得na_n+1=（n+1）a_n+n²+n，n∈N^*，從而

an+1

n+1

-

an

n

=1，

a1

1

=1，由此能證明數(shù)列{

an

n

}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
（2）由a_n=n²，得a_n=（

2nbn

32n+1

）²=n²，正項數(shù)列{b_n}，從而b_n=

1

2

×32n+1，由此能求出正項數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，n（a_n+1-a_n）=a_n+n²+n，n∈N^*，
∴na_n+1=（n+1）a_n+n²+n，n∈N^*，
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，

a1

1

=1，
∴數(shù)列{

an

n

}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
（2）解：∵數(shù)列{

an

n

}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴

an

n

=n，∴a_n=n²，
∴a_n=（

2nbn

32n+1

）²=n²，正項數(shù)列{b_n}，
∴b_n=

1

2

×32n+1，
∴S_n=

1

2

（3³+3⁵+…+3²ⁿ⁺¹）
=

1

2

×

27(1-9n)

1-9

=-

27

16

（1-9ⁿ）．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．