Question

已知函數(shù)f（x）=

1-a+lnx

x

在x=e上取得極值，a，t∈R，且t＞0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=（x-1），f（x）在（0，t]上的最小值；
（Ⅲ）證明：對任意的x₁，x₂∈（

1

t

，+∞），且x₁≠x₂，都

x1f(x1)-x2f(x2)

x1-x2

＜t．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求a；利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，從而求最小值；構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x）-tx，x∈（0，+∞）．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

1-a+lnx

x

（x＞0），
∴f′(x)=

a-lnx

x2

．
∵函數(shù)f（x）在x=e上取得極值，
∴f′(e)=

a-1

e2

=0，即a=1．
驗證可知，a=1時，函數(shù)f（x）在x=e上取得極大值．
（Ⅱ）g′(x)=f(x)+(x-1)f′(x)=

x-1+lnx

x2

，
則g′（1）=0，且x∈（0，1）時，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)t∈（0，1]時，g（x）在（0，t]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（t）=

(t-1)lnt

t

；
當(dāng)t∈（1，+∞）時，g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在（1，t]上單調(diào)遞增，g（x）_min=g（1）=0
綜上所述，g（x）_min=

(t-1)lnt t ，t∈(0，1] 0，t∈(1，+∞)

．
（Ⅲ）證明：構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x）-tx，x∈（0，+∞）
則h（x）=lnx-tx，h′（x）=

1-tx

x

；
∴x∈（

1

t

，+∞）時，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
∵x₁，x₂∈（

1

t

，+∞），且x₁≠x₂，
∴x₁＞x₂時，h（x₁）＜h（x₂），
∴x₁f（x₁）-x₂f（x₂）＜t（x₁-x₂），
即

x1f(x1)-x2f(x2)

x1-x2

＜t；
同理，x₁＜x₂時也成立．
所以，對任意的x₁，x₂∈（

1

t

，+∞），且x₁≠x₂，都有

x1f(x1)-x2f(x2)

x1-x2

＜t．

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，同時考查了不等式的變形證明，屬于難題．