Question

10．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，對任意的n∈N₊，都有S_n=2-a_n，數(shù)列{b_n}滿足b₁=2a₁，b_n=$\frac{_{n-1}}{1+_{n-1}}$（n≥2，n∈N₊）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式
（3）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+2}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡整理，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式即可得到所求通項；
（2）通過取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求通項；
（3）求得$\frac{1}{{a}_{n+2}_{n}}$=（2n-1）•2ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：對任意的n∈N₊，都有S_n=2-a_n，①
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2-a₁，可得a₁=1；
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2-a_n-1，②
①-②可得a_n=a_n-1-a_n，
即為a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1，
數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
且a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）數(shù)列{b_n}滿足b₁=2a₁=2，b_n=$\frac{_{n-1}}{1+_{n-1}}$（n≥2，n∈N₊），
可得$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{_{n-1}}$+1，
即有$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{_{1}}$+n-1=n-$\frac{1}{2}$，
可得b_n=$\frac{2}{2n-1}$；
（3）$\frac{1}{{a}_{n+2}_{n}}$=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{n+1}•\frac{2}{2n-1}}$=（2n-1）•2ⁿ，
前n項和T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
上面兩式相減可得-T_n=2+2（2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式、求和公式的運用，考查數(shù)列遞推式的運用，以及數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．