Question

1．已知圓C：x²+（y-2）²=1，D為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．若圓C與圓D相外切，且它們的內(nèi)公切線恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓D的方程是（x±2$\sqrt{3}$）²+y²=9．

Answer 1

分析 利用兩個(gè)圓相外切的性質(zhì)，求得圓D的圓心橫坐標(biāo)及半徑，可得圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：圓C：x²+（y-2）²=1得圓心C（ 0，2）、半徑等于1，
設(shè)兩個(gè)圓的公共切點(diǎn)為M，則由兩圓相外切的性質(zhì)可得OM=$\sqrt{{OC}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$．
設(shè)圓D的半徑為r，點(diǎn)D（a，0），在Rt△OMD中，由勾股定理可得OM²+r²=OD²，即3+r²=a²  ①．
再根據(jù)圓C與圓D相外切，可得CD=$\sqrt{{a}^{2}{+2}^{2}}$=1+r  ②．
由①②求得r=3，a=±2$\sqrt{3}$，∴圓D的方程是 （x±2$\sqrt{3}$）²+y²=9，
故答案為：（x±2$\sqrt{3}$）²+y²=9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)圓相外切的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．