Question

5．如圖，點A、B為直線y=x上的兩點，過A、B兩點分別作y 軸的平行線交雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）于C、D兩點．若BD=2AC，則4OC²-OD²的值為6．

Answer 1

分析 根據(jù)A，B兩點在直線y=x上，分別設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)為（a，a），（b，b），得到點C的坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{a}$），點D的坐標(biāo)為（b，$\frac{1}$），線段AC=a-$\frac{1}{a}$，線段BD=b-$\frac{1}$，根據(jù)BD=2AC，有b-$\frac{1}$=2（a-$\frac{1}{a}$），然后利用勾股定理進行計算求出4OC²-OD²的值．

解答 解：設(shè)A（a，a），B（b，b），則C（a，$\frac{1}{a}$），D（b，$\frac{1}$）
AC=a-$\frac{1}{a}$，BD=b-$\frac{1}$，
∵BD=2AC，
∴b-$\frac{1}$=2（a-$\frac{1}{a}$）
4OC²-OD²=4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-（b²+$\frac{1}{^{2}}$）
=4[$（a-\frac{1}{a}）^{2}$+2]-[$（b-\frac{1}）^{2}$+2]
=4$（a-\frac{1}{a}）^{2}$+8-4$（a-\frac{1}{a}）^{2}$-2
=6．
故答案為：6．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)直線與反比例函數(shù)的解析式，設(shè)出點A，B的坐標(biāo)后可以得到點C，D的坐標(biāo)，運用勾股定理進行計算求出代數(shù)式的值．