Question

10．已知拋物線y²=x上一定點(diǎn)B（1，1）和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，當(dāng)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP⊥PQ，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 先假設(shè)P，Q的坐標(biāo)，利用BP⊥PQ，可得$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{PQ}$=0，從而可得方程，再利用方程根的判別式大于等于0，即可求得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（t²，t），Q（s²，s）
∵BP⊥PQ，∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{PQ}$=0，
即（t²-1，t-1）•（s²-t²，s-t））=0
即t²+（s+1）t+s+1=0
∵t∈R，P，Q是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)
∴必須有△=（s+1）²-4（s+1）≥0．
即s²-2s-3≥0，
解得s≥3或s≤-1．
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案為：（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考考查取值范圍問題，解題的關(guān)鍵是利用$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{PQ}$=0構(gòu)建方程，再利用方程根的判別式大于等于0進(jìn)行求解．