Question

5．在正三棱錐S-ABC中，AB=$\sqrt{2}$，M是SC的中點，AM⊥SB，則正三棱錐S-ABC外接球的球心到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 利用正三棱錐S-ABC和M是SC的中點，AM⊥SB，找到SB，SA，SC之間的關系．在求正三棱錐S-ABC外接球的球心與平面ABC的距離．

解答 解：取AC的中點N，連接BN，因為SA=SC，所以AC⊥SN，由∵△ABC是正三角形，∴AC⊥BN．
故AC⊥平面SBN，AC⊥BC．
又∵AM⊥SB，AC∩AM=A，∴SB⊥平面SAC，SB⊥SA且SB⊥SC
故得到SB，SA，SC是三條兩兩垂直的．可以看成是一個正方體切下來的一個正三棱錐．
故外接圓直徑2R=$\sqrt{3}$
∵AB=$\sqrt{2}$，∴SA=1．
那么：外接球的球心與平面ABC的距離為正方體對角線的$\frac{1}{6}$，即d=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了正三棱錐外接球的球心與和棱長的關系，才能求出球心與平面的距離問題．屬于中檔題．