Question

17．已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0，（n∈N^*）的兩根，且a₁=1
（1）求證：數(shù)列{a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）若b_n-mS_n＞0對(duì)任意的n∈N^*都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的兩實(shí)根，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，整理變形可得數(shù)列{a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ}是等比數(shù)列；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，分組求和，可得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）由（2）的結(jié)論，求得b_n，把b_n及數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和代入b_n-mS_n＞0，此不等式對(duì)任意n∈N^*都成立，可用分離常數(shù)法的技巧得到參數(shù)的取值范圍．

解答 （1）證明：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0，（n∈N^*）的兩根，∴a_n+a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1-$\frac{1}{3}$•2ⁿ⁺¹=-（a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ），即$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{3}•{2}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{3}•{2}^{n}}=-1$，
∴{a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ}是等比數(shù)列；
（2）解：${a}_{1}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，q=-1，
∴a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ=$\frac{1}{3}$（-1）^n-1，則a_n=$\frac{1}{3}$[2ⁿ-（-1）ⁿ]；
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=$\frac{1}{3}${（2+2²+…+2ⁿ）-[（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}
=$\frac{1}{3}${$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-$\frac{（-1）[1-（-1）^{n}]}{1+1}$}
=$\frac{1}{3}$[2ⁿ⁺¹-2-$\frac{-1+（-1）^{n}}{2}$]=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{2}{3}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{2}^{n+1}}{3}-\frac{1}{3}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$；
（3）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{3}$[2ⁿ-（-1）ⁿ]•$\frac{1}{3}$[2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]=$\frac{1}{9}$[2²ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]，
要使b_n-mS_n＞0對(duì)任意n∈N^*都成立，
即$\frac{1}{9}$[2²ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]-$\frac{m}{3}$[2ⁿ⁺¹-2-$\frac{-1+（-1）^{n}}{2}$]＞0（*）對(duì)任意n∈N^*都成立．
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由（*）式得：$\frac{1}{9}$[2²ⁿ⁺¹+2ⁿ-1]-$\frac{m}{3}$（2ⁿ⁺¹-1）＞0，
即$\frac{1}{9}$（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ+1）-$\frac{m}{3}$（2ⁿ⁺¹-1）＞0，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴m＜$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）對(duì)任意正奇數(shù)n都成立，
當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）有最小值1．
∴m＜1；
當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由（*）式得：$\frac{1}{9}$[2²ⁿ⁺¹-2ⁿ-1]-$\frac{m}{3}$（2ⁿ⁺¹-2）＞0，
即$\frac{1}{9}$（2ⁿ⁺¹+1）（2ⁿ-1）-$\frac{2m}{3}$（2ⁿ-1）＞0，
∵2ⁿ-1＞0，∴m＜$\frac{1}{6}$（2ⁿ⁺¹+1）對(duì)任意正偶數(shù)n都成立．
當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{1}{6}$（2ⁿ⁺¹+1）有最小值$\frac{3}{2}$．
∴m＜$\frac{3}{2}$．
綜上所述，存在常數(shù)m，使得b_n-mS_n＞0對(duì)任意n∈N^*都成立，m的取值范圍是（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng) 本是考查數(shù)列與不等式的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式證明的技巧與數(shù)列通項(xiàng)求和的技巧，本題中用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)，是遞推關(guān)系知道的情況下求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法，對(duì)于不等式恒成立求參數(shù)的問題，本題采用了分離常數(shù)法的思想將參數(shù)獨(dú)立出來，通過求關(guān)于n的代數(shù)式的最小值求出參數(shù)的取值范圍，本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想，方程的思想，構(gòu)造法的技巧，綜合性強(qiáng)，技巧性強(qiáng)，屬難題．