Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，DB平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)，AD=CD=1，DB=2

2

，PD=2．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：AC⊥PB；
（3）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)AC∩BD=F，連結(jié)EF，由已知得EF為△PAC的中位線，從而PA∥EF，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）由已知得AC⊥BD，由線面垂直得PD⊥AC，從而AC⊥平面PBD，由此能證明AC⊥PB．
（3）取CD中點(diǎn)M，連結(jié)EM，過M作MH⊥DF于H，連結(jié)EH，由已知得∠EHM是二面角E-BD-C的平面角，由此能求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答： （1）證明：如圖，設(shè)AC∩BD=F，連結(jié)EF，
∵AD=CD，且DB平分∠ADC，∴F為AC中點(diǎn)，
又∵E為PC的中點(diǎn)，∴EF為△PAC的中位線，
∴PA∥EF，又EF?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）證明：∵AD=CD，且DB平分∠ADC，∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
又∵PD∩BD=D，且PD?平面PBD，BD?平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
又PB?平面PBD，∴AC⊥PB．
（3）解：取CD中點(diǎn)M，連結(jié)EM，過M作MH⊥DF于H，連結(jié)EH，
∵EM∥PD，PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴EM⊥BD，
又MH⊥DF，MH∩EM=M，∴DF⊥平面EHM，∴DF⊥EH，
∴∠EHM是二面角E-BD-C的平面角，
又由AC=

AD2+CD2

=

2

，∴MH=

1

2

CF=

1

4

AC=

2

4

，
在Rt△EAH中，由EM=1，得EH=

EM2+HM2

=

12+( 2 4 )2

=

3 2

4

，
∴cos∠EHM=

MH

EH

=

2 4

3 2 4

=

1

3

，
∴二面角E-BD-C的余弦值為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的證明，考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．