Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊是a，b，c，

m

=（cosA-2cosB），

n

（2c-a，b），且

m

∥

n

．（1）求

sinA

sinC

的值；（2）若b=

3

，且0＜B≤

π

3

，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量平行的條件列出關(guān)系式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，即可求出所求式子的值；
（2）把（1）的結(jié)論利用正弦定理得到c=2a，由B的范圍求出cosB的范圍，利用余弦定理表示出cosB，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可確定出a的范圍．

解答： 解：（1）∵

m

=（cosA-2cosB），

n

=（2c-a，b），且

m

∥

n

，
∴（cosA-2cosC）b-（2c-a）cosB=0，
由正弦定理化簡得：cosAsinB-2cosCsinB=2cosBsinC-cosBsinA，即sin（A+B）=2sin（B+C），
∵A+B+C=π，∴sinC=2sinA，
則

sinA

sinC

=

1

2

；
（2）由sinC=2sinA，利用正弦定理化簡得：c=2a，
∵0＜B≤

π

3

，∴

1

2

≤cosB＜1，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=4a²+a²-4a²cosB=3，
整理得：cosB=

5a2-3

4a2

，
∴

1

2

≤

5a2-3

4a2

＜1，
解得：1≤a＜

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．