Question

如圖1，一個正四棱柱形（底面是正方形）的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊（內(nèi)部不滲水），容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P．如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P（圖2）．有下列四個命題：
①正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；
②將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)P；
③任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P；
④若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿．
其中真命題的代號是：（　　）（寫出所有正確命題的代號）．

• A、②和③
• B、①和②
• C、②和④
• D、③和④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)圖（1）水的高度h₂，幾何體正四棱柱的高為h₁，底面正方形的邊長為b，圖（2）中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
對于①，易知

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故①錯誤，D正確；
②對于②，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長方體中截面上，又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點(diǎn)，故B正確．
③對于③，假設(shè)③正確，當(dāng)水面與正四棱錐的一個側(cè)面重合時(shí)，經(jīng)計(jì)算得水的體積為

25

36

b²h₂＞

2

3

b²h₂，導(dǎo)出矛盾，從而可得答案．

解答： 解：設(shè)圖（1）水的高度h₂，幾何體正四棱柱的高為h₁，底面正方形的邊長為b，
圖（2）中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
所以b²h₂-

1

3

b²h₂=

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故①錯誤，D正確．
對于②，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長方體中截面上，
又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點(diǎn)，故B正確．
對于③，假設(shè)③正確，當(dāng)水面與正四棱錐的一個側(cè)面重合時(shí)，
經(jīng)計(jì)算得水的體積為

25

36

b²h₂＞

2

3

b²h₂，矛盾，故③不正確．
綜上所述，正確的是②④，
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查對柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征等考點(diǎn)的理解，考查空間思維與運(yùn)算能力，屬于難題．