Question

已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），對任意x，y∈（0，+∞）都有f（

x

y

）=f（x）-f（y），且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）求證f（1）=0；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（3）若f（2）=1，不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2的解集．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,奇偶性與單調性的綜合

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）令x=y，則可推出f（1）=f（x）-f（x）=0，問題得證．（2）由可化為f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），結合當x＞1時，f（x）＞0；因此我們要令x₁＞x₂，從而判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性；（3）由2=f（2）-f（

1

2

）=f（4）代入不等式，結合f（

x

y

）=f（x）-f（y），將不等式化為f（x（x-3））≤f（4），轉化為函數值比較大小，借助函數單調性解不等式．

解答： 解：（1）證明：由任意x，y∈（0，+∞）都有f（

x

y

）=f（x）-f（y）知，
令x=y，則f（1）=f（x）-f（x）=0，
所以f（1）=0．
（2）任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），
∵x₁＞x₂＞0，
∴

x1

x2

＞1，
又∵當x＞1時，f（x）＞0．
∴f（

x1

x2

）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0
則f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（3）f（2）=1，令x=1，y=2，
則f（

1

2

）=f（1）-f（2）=-1，
則2=f（2）-f（

1

2

）=f（4）．
∵f（x）-f（

1

x-3

）≤2
∴f（x）-f（

1

x-3

）≤f（4）．
f（x（x-3））≤f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數．
∴

x＞0 1 x-3 ＞0 x(x-3)≤4

解得，3＜x≤4．
則不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2的解集為（3，4]．

點評：本題考查了函數性質的應用，有單調性的證明與使用，屬于中檔題．