Question

在銳角△ABC中，三個內角A、B、C所對的邊依次為a、b、c．設向量

m

=（cosA，sinA），

n

=（cosA，-sinA），a=2

3

，且

m

•

n

=-

1

2

．
（1）若b=2，求△ABC的面積；
（2）求b+c的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,三角形的面積公式,平面向量數量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）銳角△ABC中，由

m

•

n

=-

1

2

，求得A=

π

3

．根據a=2

3

，利用正弦定理求得R=2，可得sinB=

2

2

，B=

π

4

，從而求得sinC=sin（A+B） 的值，可得△ABC的面積為

1

2

•ab•sinC 的值．
（2）由a²=12=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc，可得（b+c）²≤48，從而求得b+c的最大值．

解答： 解：（1）銳角△ABC中，由題意可得

m

•

n

=cos²A-sin²A=cos2A=-

1

2

，∴2A=

2π

3

，∴A=

π

3

．
根據a=2

3

，利用正弦定理可得

a

sinA

=2R（R為△ABC外接圓的半徑），即2R=

2 3

3 2

，∴R=2．
再根據b=2=2RsinB，可得sinB=

2

2

，∴B=

π

4

，∴sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

6 + 2

4

．
∴△ABC的面積為

1

2

•ab•sinC=

1

2

×2

3

×2×

6 + 2

4

=3+

3

．
（2）由a²=12=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc，可得（b+c）²=12+3bc≤12+3(

b+c

2

)2，即（b+c）²≤48，當且僅當b=c時，取等號，
故b+c的最大值為4

3

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的應用，屬于基礎題．