2．如圖，正四面體ABCD的頂點(diǎn)C在平面α內(nèi)，且直線BC與平面α所成角為15°，頂點(diǎn)B在平面α上的射影為點(diǎn)O，當(dāng)頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大時，直線CD與平面α所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

分析 當(dāng)A，B，O，C四點(diǎn)共面時，|OA|最大，過D作平面ABOC的垂線DN，則垂足為△ABC的中心，求出N到平面α的距離d，則直線CD與平面α所成角的正弦值為$\fracmcmwe00{CD}$．

解答 解：當(dāng)四邊形ABOC為平面四邊形時，點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離最大．
此時平面ABOC⊥平面α，過D作DN⊥平面ABOC，垂足為N，
則N為正三角形ABC的中心．
設(shè)正四面體的邊長為1，則CN=$\frac{2}{3}$CP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵∠BCO=15°，∠BCP=30°，∴∠OCN=45°，
∴N到平面α的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
過D作DM⊥平面α，垂足為M，則DM=d=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴直線CD與平面α所成角的正弦值為$\frac{DM}{CD}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$

點(diǎn)評 本題考查了線面角的計(jì)算，常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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x2.002.202.603.203.404.00
y0.220.200.300.480.560.60
（Ⅰ）通過繪制并觀察散點(diǎn)圖的分布特征后，分別選用y=a+bx與y=c+dlgx作為眾籌到的資金x與收益率y的擬合方式，再經(jīng)過計(jì)算，得到這兩種擬合方式的回歸方程y=0.34+0.02x，y=-0.27+1.47lgx和如表的統(tǒng)計(jì)數(shù)值，試運(yùn)用相關(guān)指數(shù)比較以上兩回歸方程的擬合效果：
$\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}$ y=a+bx y=c+dlgx
 $\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}$ $\sum_{i=1}^{6}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}$
 0.150.13 0.01
（Ⅱ）根據(jù)以上擬合效果較好的回歸方程，解答：
（i）預(yù)測眾籌資金為5萬元時的收益率．（精確到0.0001）
（ii）若眾籌資金服從正態(tài)分布N（μ，σ2），試求收益率在75.75%以上的概率．
附：（1）相關(guān)指數(shù)R2=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$．
（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974；
（3）參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lg3=0.4771．

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