Question

20．在極坐標系中，曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，C與l有且只有一個公共點，求a．

Answer 1

分析 把極坐標方程化為直角坐標方程，利用直線與圓相切的充要條件即可得出．

解答 解：曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），即ρ²=2aρcosθ（a＞0），∴x²+y²=2ax，配方可得：C的直角坐標方程為（x-a）²+y²=a²．
直線l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$，展開為$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$=$\frac{3}{2}$，可得直角坐標方程：$x+\sqrt{3}y-3=0$．
由直線與圓相切可得：$\frac{\left|a-3\right|}{2}=a$，a＞0．
解得：a=1．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓相切的充要條件、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．