Question

2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}$．
（I）設(shè)$\overrightarrow m=（{sinA，1}），\overrightarrow n=（{8cosB，cos2A}）$，判斷$\overrightarrow m•\overrightarrow n$最大時(shí)△ABC的形狀．
（II）若$b=\sqrt{3}$，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)向量的運(yùn)算求出$\overrightarrow m•\overrightarrow n$，利用三角函數(shù)的有界性求出最大值時(shí)A是角度．即可判斷．
（II）通過正弦定理轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)的有界性△ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：由題意，$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}=\frac{b-c}{a-c}$，$\frac{a}{b+c}=\frac{b-c}{a-c}$，
a²+c²-b²=ac，
由余弦定理，可得$cosB=\frac{1}{2}$，則B=$\frac{π}{3}$．
（I）$\overrightarrow m•\overrightarrow n=8sinAcosB+cos2A=-2{sin^2}A+4sinA+1=-2{（sinA-1）^2}+3$
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n$最大時(shí)，則sinA=1，
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$A=\frac{π}{2}$，
故△ABC為直角三角形．
（II）由$b=\sqrt{3}$，
根據(jù)正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}=2$，
周長(zhǎng)$l=a+b+c=\sqrt{3}+2sinA+2sinC$=$\sqrt{3}+2\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$
∴$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1）$
（∵$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$A=\frac{π}{3}$時(shí)，a=c，$\frac{sinA}{sinB+sinC}=1-\frac{a-b}{a-c}$不成立），
故得△ABC周長(zhǎng)$l∈（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、三角函數(shù)的單調(diào)性與求值、銳角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．